Conservation of linear momentum إنحفاظ الزخم الخطي

This video shows how the cannon recoils when it shoots the bullet. Notice the sandbags that are put behind the wheels of the cannon to stop it from rolling off. Otherwise, it will recoil a larger distance due to the high impact of shooting the bullet.
It is noticeable that the backward recoil velocity of the cannon is much less than the forward launching velocity of the bullet, while the mass of the bullet is much less than the mass of the cannon. This leads us to conclude that there is an inverse relation between the velocity (speed in a specific direction) and the mass of the interacting bodies (in this example, the cannon and the bullet).
If the experiment is done in a situation where the net external force is zero on the loaded cannon just before and just after firing (like when the weight of the cannon is balanced with the normal reaction of the ground), then, when we calculate the product of the mass of the bullet by its velocity and the product of the mass of the cannon by its velocity just before and just after firing, we will find that before firing both were at rest so the product is zero for both, while, after firing, the two products are of the same magnitude but the velocities of the cannon and the bullet are of opposite directions. Mathematically:

    \[m\overrightarrow{v_{i}} + M\overrightarrow{V_{i}} = \overrightarrow{0}\]

    \[\text{and\ m}\overrightarrow{v_{f}} + M\overrightarrow{V_{f}} = \overrightarrow{0}\]

where

m is the mass of the bullet;

M is the mass of the cannon;

\overrightarrow{v_{i}} is the initial velocity of the bullet just
before firing;

\overrightarrow{V_{i}} is the initial velocity of the cannon just
before firing;

\overrightarrow{v_{f}} is the final velocity of the bullet just
after firing;

and \overrightarrow{V_{f}} is the final velocity of the cannon just
after firing.

Hence:

    \[m\overrightarrow{v_{i}} + M\overrightarrow{V_{i}} = m\overrightarrow{v_{f}} + M\overrightarrow{V_{f}}\]

The above equation represents the principle of conservation of the linear momentum of the system formed of the cannon and the bullet
{cannon, bullet}. The more general form of this principle says that the summation of the linear momentum of an isolated system of particles is conserved, i.e. remains constant. (Isolated means that the net
external force on the system is zero, i.e. \Sigma\overrightarrow{F_{\text{ext}}} = \overrightarrow{0}). Mathematically:

    \[\Sigma\overrightarrow{P_{i}} = \Sigma\overrightarrow{P_{f}}\ \]

where

    \[\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}\]

is the linear momentum of the bullet, defined as the product of its mass by its velocity, and

    \[\overrightarrow{P} = M\overrightarrow{V}\]

is the linear momentum of the cannon, defined as the product of its mass by its velocity, and

\Sigma\overrightarrow{P_{i}} = \overrightarrow{p_{i}} + \overrightarrow{P_{i}}
is the summation of the initial linear momentums of the system {cannon, bullet}, and

\Sigma\overrightarrow{P_{f}} = \overrightarrow{p_{f}} + \overrightarrow{P_{f}}
is the summation of the final linear momentums of the system {cannon, bullet}.

Note that \Sigma\overrightarrow{P} can be the summation for a system of any number of particles.

So, the principle of conservation of linear momentum, in a short and general mathematical form is:

    \[\Sigma\overrightarrow{F_{\text{ext}}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow \Sigma\overrightarrow{P} = \overrightarrow{\text{constant}}\]

يوضح هذا الفيديو كيف يرتد المدفع عندما يطلق القذيفة. لاحظ أكياس الرمل الموضوعة خلف عجلات المدفع لمنعه من التدحرج، وإلا سيرتد مسافة أكبر بسبب التأثير الكبير لإطلاق القذيفة.
من الملاحظ أن سرعة الارتداد (إلى الخلف) للمدفع أقل بكثير من سرعة الانطلاق الأمامية للقذيفة، في حين أن كتلة القذيفة أقل بكثير من كتلة المدفع. مما يقودنا إلى استنتاج أن هناك علاقة عكسية بين السرعة المتجهة (السرعة في اتجاه معين) وكتلة الأجسام المتفاعلة (في هذا المثال، المدفع والقذيفة).
لو تم إجراء التجربة في ظروف يكون فيها صافي القوى الخارجية صفرًا على المدفع المُحمّل قبل وبعد إطلاق النار مباشرة (على سبيل المثال، عندما يكون وزن المدفع متوازناً مع رد الفعل العمودي للأرض)، فإن حسبنا عندئذٍ حاصل ضرب كتلة القذيفة بسرعتها المتجهة وحاصل ضرب كتلة المدفع بسرعته المتجهة قبل وبعد الإطلاق مباشرة، سنجد أنه قبل إطلاق النار كان كلاهما في حالة سكون، وبالتالي يكون الناتج صفرًا لكليهما، بينما نجد أن الناتجين، بعد إطلاق النار ذوا مقدار متساوٍ، ولكن باتجاهين متعاكسين. رياضيا:

    \[m\overrightarrow{v_{i}} + M\overrightarrow{V_{i}} = \overrightarrow{0}\]

    \[\text{and\ m}\overrightarrow{v_{f}} + M\overrightarrow{V_{f}} = \overrightarrow{0}\]

m هي كتلة القذيفة.

M هي كتلة المدفع؛

\overrightarrow{v_{i}} هي السرعة الابتدائية للقذيفة قبل إطلاقها مباشرة؛

\overrightarrow{v_{i}} هي السرعة الابتدائية للقذيفة قبل إطلاقها مباشرة؛

\overrightarrow{V_{i}} هي السرعة الابتدائية للمدفع قبل الإطلاق مباشرة؛

\overrightarrow{v_{f}} هي السرعة النهائية للقذيفة بعد إطلاقها مباشرة؛

\overrightarrow{V_{f}} هي السرعة النهائية للمدفع بعد إطلاق النار مباشرة.

وبالتالي:

    \[m\overrightarrow{v_{i}} + M\overrightarrow{V_{i}} = m\overrightarrow{v_{f}} + M\overrightarrow{V_{f}}\]

تمثل المعادلة أعلاه مبدأ انحفاظ الزخم الخطي للنظام المُؤَلف من المدفع والقذيفة {مدفع، قذيفة}. يقول الشكل الأكثر عمومية لهذا المبدأ أن مجموع الزخم الخطي لنظام معزول من الجسيمات يكون محفوظا، أي يبقى ثابتًا. (المقصود بالنظام المعزول أن صافي القوة الخارجية عليه صفرا، أي \Sigma\overrightarrow{F_{\text{ext}}} = \overrightarrow{0})، رياضيا:

    \[\Sigma\overrightarrow{P_{i}} = \Sigma\overrightarrow{P_{f}}\]

في حين

    \[\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}\]

هو الزخم الخطي للقذيفة، ويُعرَّف بأنه حاصل ضرب كتلتها بسرعتها المتجهة، و

    \[\overrightarrow{P} = M\overrightarrow{V}\]

هو الزخم الخطي للمدفع، ويُعرَّف بأنه حاصل ضرب كتلته بسرعته المتجهة، و

\Sigma\overrightarrow{P_{i}} = \overrightarrow{p_{i}} + \overrightarrow{P_{i}} هو مجموع الزخم الخطي الابتدائي للنظام {مدفع، قذيفة}، و

\ \Sigma\overrightarrow{P_{f}} = \overrightarrow{p_{f}} + \overrightarrow{P_{f}} هو مجموع الزخم الخطي النهائي للنظام {مدفع، قذيفة}.

مع العلم أن \Sigma\overrightarrow{P} يمكن أن يكون المجموع لنظام مُؤَلف من أي عدد من الجسيمات.

ولذلك، فإن مبدأ انحفاظ الزخم الخطي، في شكل معادلة قصيرة وعامة:

    \[\Sigma\overrightarrow{F_{\text{ext}}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow \Sigma\overrightarrow{P} = \overrightarrow{\text{constant}}\]

Leave a Comment

Your email address will not be published.

fifteen + two =